质数 

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基本

延伸
其他

圓周率
自然對數的底
虛數單位
無限大

質數Prime number),又称素数,指在大於1自然数中,除了1和該数自身外,無法被其他自然数整除的数(也可定義為只有1與該數本身两个正因数的数)。大於1的自然數若不是質數,則稱之為合数(也稱為合成數)。例如,5是個質數,因為其正因數只有1與5。7是個質數,因為其正因數只有1與7。而4則是個合數,因為除了1與4外,2也是其正因數。6也是個合數,因為除了1與6外,2與3也是其正因數。算术基本定理確立了質數於数论裡的核心地位:任何大於1的整数均可被表示成一串唯一質數之乘積。為了確保該定理的唯一性,1被定義為不是質數,因為在因式分解中可以有任意多個1(如3、1×3、1×1×3等都是3的有效因數分解)。

古希臘數學家欧几里得於公元前300年前後證明有無限多個質數存在(欧几里得定理)。現時人們已發現多種驗證質數的方法。其中试除法比較簡單,但需時較長:設被測試的自然數為,使用此方法者需逐一測試2與之間的質數,確保它們無一能整除。對於較大或一些具特別形式(如梅森數)的自然數,人們通常使用較有效率的演算法測試其是否為質數(例如282589933-1是直至2024年4月為止已知最大的梅森質數[1],也是直至2024年4月為止已知最大的質數)。雖然人們仍未發現可以完全區別質數與合數的公式,甚至研究質數分布時相當有力的篩法也會碰到奇偶性問題(也就是多種篩法都無法區別質數跟兩個質數相乘的合數的問題),但已建構了質數的分佈模式(亦即質數在大數時的統計模式)。19世紀晚期得到證明的質數定理指出:一個任意自然數n為質數的機率反比於其數位(或对数)。

許多有關質數的問題依然未解,如哥德巴赫猜想(每個大於2的偶數可表示成兩個素數之和)及孿生質數猜想(存在無窮多對相差2的質數)。這些問題促進了數論各個分支的發展,主要在於數字的解析代數方面。質數被用於資訊科技裡的幾個程序中,如公鑰加密利用了難以將大數分解成其質因數之類的性質。質數亦在其他數學領域裡形成了各種廣義化的質數概念,主要出現在代数裡,如質元素質理想

  1. ^ GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 274,207,281-1. 互联网梅森素数大搜索计划. (原始内容存档于2019-04-07). 



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