连续统假设 

連續統假設(英語:Continuum hypothesis,簡稱CH)是数学中一個猜想,也是希尔伯特的23个问题的第一題,由康托尔提出,關於無窮集的可能大小。其為:

不存在一個基数絕對大于可數集而絕對小于实数集的集合。

康托爾引入了基數的概念以比較無窮集間的大小,也證明了整數集的基數絕對小於實集的基數。康托爾也就給出了連續統假設,就是说,在无限集中,比自然数集基数大的集合中,基数最小的集合是实数集。而連續統就是實數集的一個舊稱。

更加形式地说,自然数集的基数为(讀作「阿列夫零」)。而连续统假设的观点认为实数集的基数为(讀作「阿列夫壹」)。于是,康托尔定义了绝对无限

等價地,整數集的基数是而實數的基数是,連續統假設指出不存在一個集合使得

假設選擇公理是對的,那就會有一個最小的基數大於,而連續統假設也就等價於以下的等式:

連續統假設有個更廣義的形式,叫作廣義連續統假設(GCH),其命題為:

对于所有的序数,

庫爾特·哥德尔在1940年用内模型法证明了连续统假设与ZFC的相对协调性(無法以ZFC證明為誤),保羅·柯恩在1963年用力迫法证明了连续统假设不能由ZFC推导。也就是说连续统假设獨立英语Independence (mathematical logic)於ZFC。




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